공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전행렬 거듭제곱 순서쌍

문제

행렬 A=(0−110)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}에 대하여 Am=AnA ^{m} = A ^{n} 을 만족시키는 4040 이하의 두 자연수 m,nm , n(m>nm > n)의 순서쌍 (m,n)( m , n )의 개수를 구하시오. [4점]

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180180

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해설

주어진 행렬을 제곱하여 계산해보면 ⒜ A1=A5=A9=⋯=A37A ^{1} = A ^{5} = A ^{9} = \cdots = A ^{37} ⒝ A2=A6=⋯=A38=−EA ^{2} = A ^{6} = \cdots = A ^{38} = - E ⒞ A3=A7=⋯=A39=−AA ^{3} = A ^{7} = \cdots = A ^{39} = - A ⒟ A4=A8=⋯=A40=EA ^{4} = A ^{8} = \cdots = A ^{40} = E 를 만족한다. ⒜ Am=An=AA ^{m} = A ^{n} = A(단, m>nm > n)를 만족하는 순서쌍 (m,n)( m , n )의 개수는 1,5,9,14,⋯ ,371 , 5 , 9 , 14 , \cdots , 37의 1010개의 수 중 22개를 뽑는 조합의 수와 같으므로 10C2{} _{10} C _{2} ⒝,⒞,⒟도 ⒜와 같은 방법으로 경우의 수는 10C2{} _{10} C _{2}이므로 4×10C2=1804 \times _{10} C _{2} = 180가지

태그

#행렬#거듭제곱#조합

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