공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

허수 계수 이차방정식의 다른 한 근

문제

실수 a,ba , b에 대하여 xx에 대한 이차방정식 x2+(a+i)x+bi=0x ^{2} + ( a + i ) x + bi = 0의 한 근이 1+i1 + i일 때, 다른 한 근은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [4점] ①1−i1 - i②−1−i- 1 - i③−2−2i- 2 - 2 i④−2+2i- 2 + 2 i⑤2−2i2 - 2 i

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③

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해설

x=1+ix = 1 + i를 대입하면 (1+i)2+(a+i)(1+i)+bi=0( 1 + i ) ^{2} + ( a + i ) ( 1 + i ) + bi = 0 2i+(a−1)+(a+1)i+bi=02 i + ( a - 1 ) + ( a + 1 ) i + bi = 0 (a−1)+(a+b+3)i=0( a - 1 ) + ( a + b + 3 ) i = 0 a,ba , b가 실수이므로 a−1=0a - 1 = 0, a+b+3=0a + b + 3 = 0 a=1a = 1, b=−4b = - 4 주어진 방정식은 x2+(1+i)x−4i=0x ^{2} + ( 1 + i ) x - 4 i = 0 다른 한 근을 β\beta라 하면 근과 계수의 관계에서 (1+i)β=−4i( 1 + i ) \beta = - 4 i β=−4i1+i=−4i(1−i)2=−2i(1−i)=−2−2i\displaystyle \beta = \frac{- 4 i}{1 + i} = \frac{- 4 i ( 1 - i )}{2} = - 2 i ( 1 - i ) = - 2 - 2 i 이때 두 근의 합은 (1+i)+(−2−2i)=−(1+i)( 1 + i ) + ( - 2 - 2 i ) = - ( 1 + i )로 계수와 일치한다. 계수가 허수이므로 1−i1 - i는 근이 아니다. 따라서 다른 한 근은 −2−2i- 2 - 2 i이다. ③

태그

#이차방정식#복소수 계수#복소수의 상등#근과 계수의 관계

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