공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

허근을 갖는 정수 순서쌍의 개수

문제

$1 \leq a \leq 3$ , $1 \leq b \leq 9$ 인 정수 $a , b$ 에 대하여 $x$ 에 대한 이차방정식 $x ^{2} - 2 ax + b = 0$ 이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 순서쌍 $( a , b )$ 의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

판별식을 $D$ 라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - b$ 서로 다른 두 허근을 가지려면 $\displaystyle \frac{D}{4} < 0$ , 즉 $b > a ^{2}$ (ⅰ) $a = 1$ 일 때 $b > 1$ 이므로 $b = 2 , 3 , \cdots , 9$ 의 $8$ 개 (ⅱ) $a = 2$ 일 때 $b > 4$ 이므로 $b = 5 , 6 , \cdots , 9$ 의 $5$ 개 (ⅲ) $a = 3$ 일 때 $b > 9$ 이므로 조건을 만족하는 $b$ 는 없다. 따라서 순서쌍 $( a , b )$ 의 개수는 $8 + 5 = 13$ 이다.

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