공통수학2함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성함수와 넓이

문제

두 함수 f(x)=5−∣x∣f ( x ) = 5 - | x |와 g(x)=−5+∣x∣g ( x ) = - 5 + | x |에 대하여, 다음 부등식이 나타내는 영역의 넓이는? 0≤y≤f(g(x))0 \leq y \leq f ( g ( x ) ) ①42②44③46④48⑤50

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해설

두 함수 f(x)=5−∣x∣f ( x ) = 5 - | x |, g(x)=−5+∣x∣g ( x ) = - 5 + | x |에 대하여 f(g(x))={5−g(x)(g(x)≥0)5+g(x)(g(x)<0)\displaystyle f ( g ( x ) ) = \begin{cases} 5 - g ( x ) & ( g ( x ) \geq 0 ) \\ 5 + g ( x ) & ( g ( x ) < 0 ) \end{cases}

ⅰ) g(x)≥0g ( x ) \geq 0인 경우 (x≥5또는x≤−5x \geq 5 \text{또는} x \leq - 5) x≥5x \geq 5일 때, f(g(x))=5−(−5+x)=10−xf ( g ( x ) ) = 5 - ( - 5 + x ) = 10 - x x≤−5x \leq - 5일 때, f(g(x))=5−(−5−x)=10+xf ( g ( x ) ) = 5 - ( - 5 - x ) = 10 + x ⅱ) g(x)<0g ( x ) < 0인 경우 (−5<x<5- 5 < x < 5) −5<x≤0- 5 < x \leq 0일 때, f(g(x))=5+(−5−x)=−xf ( g ( x ) ) = 5 + ( - 5 - x ) = - x 0≤x<50 \leq x < 5일 때, f(g(x))=5+(−5+x)=xf ( g ( x ) ) = 5 + ( - 5 + x ) = x ∴f(g(x))={10−x(x≥5)x(0≤x<5)−x(−5<x≤0)10+x(x≤−5)\displaystyle \therefore f ( g ( x ) ) = \begin{cases} 10 - x & ( x \geq 5 ) \\ x & ( 0 \leq x < 5 ) \\ - x & ( - 5 < x \leq 0 ) \\ 10 + x & ( x \leq - 5 ) \end{cases} 따라서 부등식 0≤y≤f(g(x))0 \leq y \leq f ( g ( x ) )가 나타내는 영역의 넓이는 10×5×12×2=50\displaystyle 10 \times 5 \times \frac{1}{2} \times 2 = 50이다.

태그

#합성함수#절댓값 함수#넓이

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