합성함수의 연속과 삼차함수 결정

함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$, $x = 3$에서만 불연속이고 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 합성함수 $g \left( f \left( x \right) \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x = 0$, $x = 3$에서 연속이어야 한다. $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 1 + x & & \left( x < 0 \right) \\ 0 & & \left( x = 0 \right) \\ 1 - x & & \left( 0 < x < 3 \right) \\ 0 & & \left( x = 3 \right) \\ 1 - x & & \left( x > 3 \right) \end{cases}}$ 이고 $g \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + 5$라 하면 (ⅰ) $x = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {g \left( f \left( x \right) \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {g \left( f \left( x \right) \right)} = g \left( f \left( 0 \right) \right)$ 이때 $g \left( f \left( 0 \right) \right) = g \left( 0 \right) = 5$이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {g \left( f \left( x \right) \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left\{ \left( x + 1 \right) ^{3} + a \left( x + 1 \right) ^{2} + b \left( x + 1 \right) + 5 \right\}$ $= 1 + a + b + 5 = a + b + 6$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {g \left( f \left( x \right) \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left\{ \left( 1 - x \right) ^{3} + a \left( 1 - x \right) ^{2} + b \left( 1 - x \right) + 5 \right\}$ $= 1 + a + b + 5 = a + b + 6$ 이므로 $a + b + 6 = 5$, $a + b = - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ (ⅱ) $x = 3$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {g \left( f \left( x \right) \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {g \left( f \left( x \right) \right)} = g \left( f \left( 3 \right) \right)$ 이때 $g \left( f \left( 3 \right) \right) = g \left( 0 \right) = 5$이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {g \left( f \left( x \right) \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {} \left\{ \left( 1 - x \right) ^{3} + a \left( 1 - x \right) ^{2} + b \left( 1 - x \right) + 5 \right\}$ $= - 8 + 4 a - 2 b + 5 = 4 a - 2 b - 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {g \left( f \left( x \right) \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {} \left\{ \left( 1 - x \right) ^{3} + a \left( 1 - x \right) ^{2} + b \left( 1 - x \right) + 5 \right\}$ $= - 8 + 4 a - 2 b + 5 = 4 a - 2 b - 3$ 이므로 $4 a - 2 b - 3 = 5$, $2 a - b = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ (ⅰ), (ⅱ)에서 ㉠, ㉡을 연립하면 $a = 1$, $b = - 2$ 즉 $g \left( x \right) = x ^{3} + x ^{2} - 2 x + 5$이므로 $g \left( 6 \right)$$= 6 ^{3} + 6 ^{2} - 2 \times 6 + 5$ $= 216 + 36 - 12 + 5$ $= 245$ [다른 풀이] 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$, $x = 3$에서만 불연속이고 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 합성함수 $g \left( f \left( x \right) \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x = 0$, $x = 3$에서 연속이어야 한다. (ⅰ) $x = 0$일 때 $g \left( f \left( 0 \right) \right) = g \left( 0 \right) = 5$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {g \left( f \left( x \right) \right)} = g \left( 1 \right)$이므로 $g \left( 0 \right) = g \left( 1 \right) = 5$ (ⅱ) $x = 3$일 때 $g \left( f \left( 3 \right) \right) = g \left( 0 \right) = 5$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {g \left( f \left( x \right) \right)} = g \left( - 2 \right)$이므로 $g \left( 0 \right) = g \left( - 2 \right) = 5$ (ⅰ), (ⅱ)에서 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g \left( x \right)$는 $g \left( x \right) = x \left( x - 1 \right) \left( x + 2 \right) + 5$ $\therefore$$g \left( 6 \right) = 6 \times 5 \times 8 + 5 = 245$