미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합성함수의 극한과 연속

문제

실수 전체 집합에서 정의된 두 함수 ff, gg가 f(x)={2(x>0)1(x=0)0(x<0)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} 2 & ( x > 0 ) _{{}_{{}_{{}_{}}}} \\ 1 & ( x = 0 ) _{{}_{{}_{{}_{}}}} \\ 0 & ( x < 0 ) \end{cases}이고 g(x)=sin⁡πxg ( x ) = \sin \pi x 일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

<보 기>
ㄱ. f(f(x))f ( f ( x ) )는 상수함수이다. ㄴ. lim⁡x→0f(g(x))\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} f ( g ( x ) )의 값이 존재한다. ㄷ. g(f(x))g ( f ( x ) )는 x=0x = 0에서 연속이다.

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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②

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해설

f(x)={2(x>0)1(x=0)0(x<0)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} 2 ( x > 0 ) \\ 1 ( x = 0 ) \\ 0 ( x < 0 ) \end{cases}, g(x)=sin⁡πxg ( x ) = \sin \pi x ㄱ. f(f(x))={2(x≥0)1(x<0)\displaystyle f ( f ( x ) ) = \begin{cases} 2 ( x \geq 0 ) \\ 1 ( x < 0 ) \end{cases}이므로 상수함수가 아니다. 　∴ 거짓 ㄴ. lim⁡x→0g(x)=lim⁡x→0sin⁡πx=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \sin \pi x = 0이므로 lim⁡x→0−f(g(x))=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f ( g ( x ) ) = 0 lim⁡x→0+f(g(x))=2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f ( g ( x ) ) = 2 lim⁡x→0−f(g(x))≠lim⁡x→0+f(g(x))\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f ( g ( x ) ) \ne \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f ( g ( x ) )이므로 lim⁡x→0f(g(x))\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} f ( g ( x ) )의 값은 존재하지 않는다. 　∴ 거짓 ㄷ. g(f(0))=g(1)=sin⁡π=0g ( f ( 0 ) ) = g ( 1 ) = \sin \pi = 0이고, lim⁡x→0−g(f(x))=g(0)=sin⁡0=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g ( f ( x ) ) = g ( 0 ) = \sin 0 = 0 lim⁡x→0+g(f(x))=g(2)=sin⁡2π=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g ( f ( x ) ) = g ( 2 ) = \sin 2 \pi = 0 이므로 g(f(0))=lim⁡x→0g(f(x))\displaystyle g ( f ( 0 ) ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} g ( f ( x ) ) 따라서, g(f(x))g ( f ( x ) )는 x=0x = 0에서 연속이다. 　 ∴ 참

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