합성함수의 극값과 실근 개수

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 함수를 구한 후 함숫값을 구할 수 있는가? $f \left( x \right) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$ ($a > 0 , b , c , d$는 상수)라 하면 $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$ 이므로 $\displaystyle f \left( 3 \right) = 27 a + 9 b + 3 c + d = \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $f' \left( 3 \right) = 27 a + 6 b + c = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ 조건 (가)에서 $h \left( 0 \right) = g \left( f \left( 0 \right) \right) = g \left( d \right) = e ^{\sin \pi d} - 1 = 0$ $e ^{\sin \pi d} = 1 , \sin \pi d = 0$ 따라서, $d$는 정수이다. 또한, $g' \left( x \right) = e ^{\sin \pi x} \times \pi \cos \pi x$ $h' \left( x \right) = g' \left( f \left( x \right) \right) \times f' \left( x \right)$ 이므로 $h' \left( 0 \right)$$= g' \left( f \left( 0 \right) \right) \times f' \left( 0 \right)$$= g' \left( d \right) \times c$ $= e ^{\sin \pi d} \times \pi \cos \pi d \times c$$= \pi \cos \pi d \times c = 0$ 그런데, $\cos \pi d \neq 0$이므로 $c = 0$ 따라서, ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 27 a + 9 b + d = \frac{1}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉢, $9 a + 2 b = 0$ $\cdots \cdots$ ㉣ 이고 $a > 0$이므로 $b < 0$이고 ㉠$-$㉡에서 $\displaystyle 3 b + d = \frac{1}{2}$이므로 $d > 0$ 즉, $d$는 자연수이다. 따라서 $f' \left( 0 \right) = c = 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$에서 극댓값이 $f \left( 0 \right) = d$, $x = 3$에서 극솟값이 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. 즉, $0 < x < 3$에서 $f ( 3 ) < f ( x ) < f ( 0 )$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} < f ( x ) < d$ 그런데 조건 (나)에 의하여 열린구간 $\left( 0 , 3 \right)$에서 방정식 $h ( x ) = g ( f ( x ) ) = e ^{\sin \pi f ( x )} - 1 = 1$ 즉, $e ^{\sin \pi f ( x )} = 2 , \sin \pi f ( x ) = \ln 2$가 서로 다른 실근의 개수가 $7$이고 함수 $y = \sin \pi t$의 주기는 $2$이므로 $d = 8$ ㉢, ㉣에서 $\displaystyle a = \frac{5}{9} , b = \mathit{-} \frac{5}{2}$ 이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{5}{9} x ^{3} - \frac{5}{2} x ^{2} + 8$ 따라서 $\displaystyle f \left( 2 \right) = \frac{40}{9} - 10 + 8 = \frac{22}{9}$ 즉, $p = 9 , q = 22$이므로 $p + q = 31$