합성함수의 최솟값

[출제의도] 함수의 증가와 감소를 이해하여 실수의 최솟값을 구하는 문제를 해결한다. $f ( x )$$= x ^{2} + 2 x + k$$= \left( x + 1 \right) ^{2} + k - 1$ 이므로 함수 $f ( x )$는 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) {\geq} k - 1$이다. 함수 $g ( f ( x ) )$에서 $f ( x ) = t$라 하면 $t {\geq} k - 1$이므로 함수 $g ( t )$는 구간 $\left[ k - 1 , \infty \right)$에서 정의된 함수이다. 한편 $g ( x ) = 2 x ^{3} - 9 x ^{2} + 12 x - 2$에서 $g' ( x )$$= 6 x ^{2} - 18 x + 12$$= 6 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$ 이므로 $g' ( x ) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = 2$이다. 함수 $g ( x )$는 $x = 1$에서 극대, $x = 2$에서 극소이다. $g ( t ) = 2$에서 $2 t ^{3} - 9 t ^{2} + 12 t - 2 = 2$, $\left( 2 t - 1 \right) \left( t - 2 \right) ^{2} = 0$ 즉, 함수 $y = g ( t )$의 그래프와 직선 $y = 2$는 그림과 같다.

따라서 $\displaystyle \frac{1}{2} \leq k - 1 \leq 2$, 즉 $\displaystyle \frac{3}{2} {\leq} k {\leq 3}$이므로 조건을 만족시키는 실수 $k$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{3}{2}$이다.