합성함수의 최댓값

[출제의도] 미분법을 이용하여 함수의 그래프 관련 추론하기 함수 $\displaystyle g ( x ) = \frac{x ^{3} - 3 x ^{2} + 4}{n + 1}$를 미분하면 $\displaystyle g' ( x ) = \frac{3 x}{n + 1} ( x - 2 )$이므로 함수 $g ( x )$는 $x = 0$에서 극댓값 $\displaystyle \frac{4}{n + 1}$를 가지고, $x = 2$에서 극솟값 0을 가진다. $f ( x ) = x ^{2} e ^{- x}$를 미분하면 $f' ( x ) = ( 2 x - x ^{2} ) e ^{- x}$이므로 $x = 2$에서 극댓값 $\displaystyle \frac{4}{e ^{2}}$를 가진다. ⅰ) $x \geq 2$일 때, $g ( x )$의 최솟값은 0이므로 $( f \circ g ) ( x )$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{4}{e ^{2}}$ ⅱ) $x \geq 3$일 때, $g ( x )$의 최솟값은 1이므로 $( f \circ g ) ( x )$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{4}{e ^{2}}$ ⅲ) $x \geq 4$일 때, $g ( x )$의 최솟값은 4이므로 $( f \circ g ) ( x )$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{16}{e ^{2}}$ $\displaystyle \therefore a _{2} + a _{3} + a _{4} = \frac{8 e ^{2} + 16}{e ^{4}}$