합성함수의 치역

[출제의도] 합성함수의 성질을 이해하여 주어진 식의 미정계수의 값을 구하는 문제를 해결한다. 합성함수 $\displaystyle \left( g \circ f \right) \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{2} + 2 ax + 16 & ( x < 0 ) \\ x + 16 & ( x \geq 0 ) \end{cases}}$이다. $a \leq 0$이면 합성함수 $\left( g \circ f \right) ( x )$의 치역이 $\left\{ y | y \geq 16 \right\}$이므로 문제의 치역과 달라 $a > 0$이어야 한다. $y = x ^{2} + 2 ax + 16$의 꼭짓점의 $x$좌표가 음수이므로 합성함수 $\left( g \circ f \right) ( x )$의 치역이 $\left\{ y | y \geq 0 \right\}$이기 위해서는 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$이다.

$y = x ^{2} + 2 ax + 16 = ( x + a ) ^{2} + 16 - a ^{2}$에서 $16 - a ^{2} = 0$, $a = \pm 4$ $a > 0$이므로 $a = 4$