합성함수 연속성 보기

[출제의도] 연역적 추론능력-함수의 극한과 연속 ㄱ. (참) 함수 $y = \left| f ( x ) \right|$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 $\left| f ( x ) \right|$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄴ. (거짓) $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \begin{matrix} x ^{2} - 1 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} ( x < 0 ) \\ ( x = 0 ) \end{matrix} \\ - x ^{2} + 1 & ( x > 0 ) \end{cases}}$에서 $\displaystyle g ( x ^{2} ) = {\begin{cases} 0 & ( x ^{2} = 0 ) \\ - x ^{4} + 1 & ( x ^{2} > 0 ) \end{cases}} = {\begin{cases} \begin{matrix} - x ^{4} + 1 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} ( x < 0 ) \\ ( x = 0 ) \end{matrix} \\ - x ^{4} + 1 & ( x > 0 ) \end{cases}}$ $\displaystyle h ( x ) = \left| g ( x ^{2} ) - \frac{1}{2} \right|$로 놓으면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} h ( x ) = \left| 1 - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} h ( x ) = \left| 1 - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$ $\displaystyle h ( 0 ) = \left| 0 - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$ 따라서 함수 $\displaystyle \left| g ( x ^{2} ) - \frac{1}{2} \right|$는 $x = 0$에서 연속이다. ㄷ. (참) $y = g ( \left| x \right| - k )$에서 $x \geq 0$일 때, $y = g ( \left| x \right| - k ) = g ( x - k )$ $x < 0$일 때, $y = g ( \left| x \right| - k ) = g ( - x - k ) = g ( - ( x + k ) )$ 이므로 양수 $k$에 대하여 함수 $y = g ( \left| x \right| - k )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

$h ( x ) = f ( x ) g ( \left| x \right| - k )$라 하자 양수 $k$에 대하여 함수 $f ( x )$는 $x = k$에서 연속이고, 함수 $y = g ( \left| x \right| - k )$는 $x = k$에서 불연속이므로 $f ( k ) = 0$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k} {} h ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow k} {} f ( x ) g ( \left| x \right| - k ) = 0$, $h ( k ) = 0$이므로 함수 $h ( x )$는 $x = k$에서 연속이다. $f ( k ) = 0$에서 $\left| k \right| - 1 = 0$, $k = 1$ 따라서 구하는 양수 $k$의 개수는 1이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.