합성함수 연속 그래프 고르기

ㄱ. $f ( x )$는 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이므로 함수 $\{ f ( x ) \} ^{2} , ( f \circ f ) ( x )$는 모두 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이다. 따라서 함수 $g ( x )$가 $x = 3$에서 연속이면 $g ( x )$는 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} \{ f ( x ) \} ^{2}$$= 1 ^{2} = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} ( f \circ f ) ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow 1-0} f ( t )$$= 2$ ∴$\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} g ( x )$$\displaystyle \ne \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} g ( x )$ 따라서 함수 $g ( x )$는 $x = 3$에서 불연속이므로 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이 아니다. ㄴ. $f ( x )$는 폐구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 연속이므로 함수 $\{ f ( x ) \} ^{2}$는 폐구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 연속이다. 한편, 함수 $f ( x )$는 $x \ne 4$인 모든 $x$에서 연속이므로 합성함수 $( f \circ f ) ( x )$는 $x \ne 4$이고 $f ( x ) \ne 4$인 $x$에서 연속이다. 따라서 함수 $g ( x )$가 $x = 3$에서 연속이고 $x = 4$에서 연속이면 $g ( x )$는 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이다. (i) $x = 3$에서의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} \{ f ( x ) \} ^{2}$$= 2 ^{2} = 4$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} ( f \circ f ) ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow 2-0} f ( t )$$= 4$ $g ( 3 ) = \{ f ( 3 ) \} ^{2} = 2 ^{2} = 4$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} g ( x ) = g ( 3 )$ 따라서 함수 $g ( x )$는 $x = 3$에서 연속이다. (ii) $x = 4$에서의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 4-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 4-0} ( f \circ f ) ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow +0} f ( t ) = 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 4+0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 4+0} ( f \circ f ) ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow 1+0} f ( t ) = 3$ $g ( 4 ) = f ( f ( 4 ) ) = f ( 0 ) = 3$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 4-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 4+0} g ( x ) = g ( 4 )$ 따라서 함수 $g ( x )$는 $x = 4$에서 연속이다. (i), (ii)에서 함수 $g ( x )$는 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이다. ㄷ. $f ( x )$는 폐구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 연속이므로 함수 $\{ f ( x ) \} ^{2}$는 폐구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 연속이다. 한편, 함수 $f ( x )$는 $x \ne 4$인 모든 $x$에서 연속이므로 합성함수 $( f \circ f ) ( x )$는 $x \ne 4$이고 $f ( x ) \ne 4$인 $x$에서 연속이다. 따라서 함수 $g ( x )$가 $x = 3$에서 연속이고 $x = 4$에서 연속이면 $g ( x )$는 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이다. (i) $x = 3$에서의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} \{ f ( x ) \} ^{2}$$= 2 ^{2} = 4$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} ( f \circ f ) ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow 2-0} f ( t )$$= 4$ $g ( 3 ) = \{ f ( 3 ) \} ^{2} = 2 ^{2} = 4$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 3-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 3+0} g ( x ) = g ( 3 )$ 따라서 함수 $g ( x )$는 $x = 3$에서 연속이다. (ii) $x = 4$에서의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 4-0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 4-0} ( f \circ f ) ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow +0} f ( t ) = 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 4+0} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 4+0} ( f \circ f ) ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow 1+0} f ( t ) = 3$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 4-0} g ( x )$$\displaystyle \ne \lim\limits _{x\rightarrow 4+0} g ( x )$ 따라서 함수 $g ( x )$는 $x = 4$에서 불연속이므로 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이 아니다. 이상에서 함수 $g ( x )$가 폐구간 $\left[ 0 , 5 \right]$에서 연속이 되도록 하는 함수 $f ( x )$의 그래프는 ㄴ이다.