합성함수 연속 보기

[출제의도] 함수의 연속성을 이해하여 합성함수의 연속성을 추론한다. ㄱ. 함수 $g ( x )$는 $\displaystyle x < - \frac{\pi}{2}$에서 $0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{\pi}{2} - 0} {g ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{\pi}{2} - 0} {0} = 0$ (참) ㄴ. $a = 2$이므로 $f ( x ) = \sin ^{2} x + 2 \cos x$이다. $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 임의의 실수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha - 0} {f ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha + 0} {f ( x )} = f ( \alpha )$를 만족한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{\pi}{2} - 0} {( f \circ g ) ( x )} = f ( 0 )$$= \sin ^{2} 0 + 2 \cos 0$$= 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{\pi}{2} + 0} {( f \circ g ) ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{\pi}{2} + 0} {} f ( x )$ $\displaystyle = \sin ^{2} \left( - \frac{\pi}{2} \right) + 2 \cos \left( - \frac{\pi}{2} \right)$ $= 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{\pi}{2} - 0} {( f \circ g ) ( x )} \ne \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{\pi}{2} + 0} {( f \circ g ) ( x )}$ 이므로 합성함수 $( f \circ g ) ( x )$는 $\displaystyle x = - \frac{\pi}{2}$에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \pi - 0} {( f \circ g ) ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow \pi - 0} {f ( x )}$$= \sin ^{2} \pi + a \cos \pi = - a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \pi + 0} {( f \circ g ) ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow \pi + 0} {f ( bx )}$ $= \sin ^{2} b \pi + a \cos b \pi$ $( f \circ g ) \left( \pi \right) = f ( b \pi ) = \sin ^{2} b \pi + a \cos b \pi$ 합성함수 $( f \circ g ) ( x )$가 $x = \pi$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \pi - 0} {( f \circ g ) ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow \pi + 0} {( f \circ g ) ( x )}$ $= {( f \circ g ) ( \pi )}$ 그러므로 $\sin ^{2} b \pi + a \cos b \pi = - a$ $1 - \cos ^{2} b \pi + a \cos b \pi + a = 0$ $1 - \cos ^{2} b \pi + a ( 1 + \cos b \pi ) = 0$ … ㉠ ㉠이 $a$에 대한 항등식이므로 $1 - \cos ^{2} b \pi = 0$이고 $\cos b \pi + 1 = 0$이다. $\cos b \pi = - 1$이므로 $b \pi = ( 2 n - 1 ) \pi$($n$은 정수) $b = 2 n - 1$($n$은 정수) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.