합성함수 연속 보기

ㄱ.

$x \rightarrow 0$일 때 $g ( x ) \rightarrow + 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( g ( x ) )} = \lim\limits _{t \rightarrow + 0} {f ( t )} = 0$ $f ( g ( 0 ) ) = f ( 0 ) = 0$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( g ( x ) )} = f ( g ( 0 ) ) = 0$이므로 함수 $f \left( g ( x ) \right)$는 $x = 0$에서 연속이다. ㄴ.

$x \rightarrow 0$일 때 $g ( x ) \rightarrow + 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( g ( x ) )} = \lim\limits _{t \rightarrow + 0} {f ( t )} = 0$ $f ( g ( 0 ) ) = f ( 0 ) = 0$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( g ( x ) )} = f ( g ( 0 ) ) = 0$이므로 함수 $f \left( g ( x ) \right)$는 $x = 0$에서 연속이다. ㄷ.

$x \rightarrow 0$일 때, $g ( x ) \rightarrow 1 - 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( g ( x ) )} = \lim\limits _{t \rightarrow 1 - 0} {f ( t )} = 2$ $f ( g ( 0 ) ) = f ( 1 ) = 0$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( g ( x ) )} \ne f ( g ( 0 ) )$이므로 함수 $f \left( g ( x ) \right)$는 $x = 0$에서 불연속이다. 이상에서 $x = 0$에서 연속인 것은 ㄱ, ㄴ이다.