합성함수 연속

[출제의도] 합성함수의 연속성을 이해하고 문제를 해결한다. 합성함수 $( g \circ f ) ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} ( g \circ f ) ( x ) = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} ( g \circ f ) ( x ) = ( g \circ f ) ( 1 )$ 이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} f ( x ) = 1 ^{2} - 1 + 2 a = 2 a$이고, $g ( x )$는 연속함수이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} ( g \circ f ) ( x )$$= ( 2 a ) ^{2} + a \times 2 a + 3$$= 6 a ^{2} + 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {} f ( x ) = 3 + a$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {} ( g \circ f ) ( x )$$= ( 3 + a ) ^{2} + a \times ( 3 + a ) + 3$$= 2 a ^{2} + 9 a + 12$ $( g \circ f ) ( 1 ) = g ( f ( 1 ) ) = g ( 2 a ) = 6 a ^{2} + 3$ 따라서 $6 a ^{2} + 3 = 2 a ^{2} + 9 a + 12$이어야 하므로 $4 a ^{2} - 9 a - 9 = 0$ $( a - 3 ) ( 4 a + 3 ) = 0$ ∴ $a = 3$ 또는 $\displaystyle a = - \frac{3}{4}$ 따라서 구하는 모든 상수 $a$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{9}{4}$이다. [다른 풀이] 이차함수 $g \left( x \right)$는 모든 실수에서 연속이고 곡선 $y = g ( x )$는 직선 $\displaystyle x = - \frac{a}{2}$에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 $\left( g \circ f \right) \left( x \right)$가 모든 실수 $x$에서 연속이 되려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f \left( x \right)}} = f ( 1 )$ 또는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f \left( x \right) + \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f \left( x \right) = - a}}$이어야 한다. $1 - 1 + 2 a = 3 + a$에서 $a = 3$ $\left( 1 - 1 + 2 a \right) + \left( 3 + a \right) = - a$에서 $\displaystyle a = - \frac{3}{4}$ 따라서 구하는 모든 상수 $a$의 값의 합은 $\displaystyle 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$