합성함수 실근 개수

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-미분법 ㄱ. (참) $\displaystyle f ( x ) = \frac{5 x ^{2}}{e ^{x}} = 5 x ^{2} e ^{- x}$에서 $f' ( x ) = 10 xe ^{- x} - 5 x ^{2} e ^{- x} = 5 xe ^{- x} ( 2 - x )$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$이므로 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f ( x )$의 극댓값은 $x = 2$일 때이므로 $\displaystyle f ( 2 ) = \frac{20}{e ^{2}}$이다. ㄴ. (참) ㄱ에서 함수 $f ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$g' ( x ) = f' ( x ) f' ( f ( x ) )$이므로 $g' ( x ) = 0$에서 $f' ( x ) = 0$또는 $f' ( f ( x ) ) = 0$이다. (ⅰ) $f' ( x ) = 0$일때, $x = 0$또는 $x = 2$ (ⅱ) $f' ( f ( x ) ) = 0$일 때, $f ( x ) = 0$또는 $f ( x ) = 2$ $f ( x ) = 0$일 때, $x = 0$ 한편, $\displaystyle \frac{20}{e ^{2}} > 2$이므로 방정식 $f ( x ) = 2$는 서로 다른 세 실근 $\alpha , \beta , \gamma ( \alpha < 0 < \beta < 2 < \gamma )$를 갖는다. 따라서 $f ( x ) = 2$일 때, $x = \alpha$ 또는 $x = \beta$ 또는 $x = \gamma$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $A = \left\{ \alpha , 0 , \beta , 2 , \gamma \right\}$이므로 집합 $A$의 원소의 개수는 5이다. ㄷ. (참) ㄱ, ㄴ에서 $g' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 또는 $x = \alpha$ 또는 $x = \beta$ 또는 $x = \gamma$이고 $\displaystyle g ( \alpha ) = g ( \beta ) = g ( \gamma ) = \frac{20}{e ^{2}}$이므로 함수 $g ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

한편, $f ( x )$는 $x > 2$에서 감소함수이고, $\displaystyle 2 < \frac{20}{e ^{2}}$이므로 $\displaystyle f ( 2 ) > f \left( \frac{20}{e ^{2}} \right) = f ( f ( 2 ) ) = g ( 2 )$ 즉, $\displaystyle g ( 2 ) < \frac{20}{e ^{2}}$이므로 함수 $g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 실수 $t$에 대하여 함수 $h ( t )$는 $\displaystyle g ( 2 ) < t < \frac{20}{e ^{2}}$일 때, 최댓값 6을 갖는다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.