공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성함수 나머지

문제

다항식 f(x)f \left( x \right) 를 x−1x - 1로 나눈 나머지는 2이고, x−2x - 2로 나눈 나머지는 3, x−3x - 3으로 나눈 나머지는 1이다. (f∘f)(x)\left( f \circ f \right) \left( x \right)를 (x−1)(x−3)\left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)으로 나눈 나머지를 R(x)R \left( x \right)라 할 때, R(10)R \left( 10 \right)의 값은? [4점] ①−52\displaystyle - \frac{5}{2}②−32\displaystyle - \frac{3}{2}③−12\displaystyle - \frac{1}{2}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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②

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해설

[출제의도] 항등식과 나머지정리 활용하기 f(x)f \left( x \right)를 (x−a)\left( x - a \right)로 나눈 나머지는 f(a)f \left( a \right)이므로 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1f \left( 1 \right) = 2 , f \left( 2 \right) = 3 , f \left( 3 \right) = 1이다. (f∘f)(x)=(x−1)(x−3)Q(x)+R(x)\left( f \circ f \right) \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) Q \left( x \right) + R \left( x \right)라 하면 R(x)=ax+bR \left( x \right) = ax + b 이다. (f∘f)(3)=f(1)=3a+b=2∴a=−12,b=72이므로R(x)=−12x+72∴R(10)=−32\displaystyle \begin{aligned} \left( f \circ f \right) \left( 3 \right) = f \left( 1 \right) = 3 a + b = 2 \\ \therefore a = - \frac{1}{2} , b = \frac{7}{2} \text{이므로} R \left( x \right) = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} \\ \therefore R \left( 10 \right) = - \frac{3}{2} \end{aligned}

태그

#나머지정리#합성함수

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