합성함수 정수 조건

[출제의도] 유리함수와 합성함수의 성질을 이해하여 방정식의 해의 개수를 구한다. 방정식 $( g \circ f ) ( x )$$= g ( f ( x ) )$$= 1$이므로 $g ( x )$의 정의에 의해 $f ( x )$는 정수이다. $f ( x )$$\displaystyle = \frac{6 x + 12}{2 x - 1}$$\displaystyle = \frac{15}{2 x - 1} + 3$이 정수가 되려면 $2 x - 1$은 $15$의 약수이어야 한다. $x$가 자연수이므로 $2 x - 1$은 자연수이고, $2 x - 1$은 $15$의 양의 약수이다. $2 x - 1$$= 1$, $3$, $5$, $15$ $x$$= 1$, $2$, $3$, $8$ 따라서 서로 다른 자연수 $x$의 개수는 $4$이다.