합성함수 절댓값 미분가능

$\displaystyle h \left( x \right) = \frac{2}{1 + e ^{- x}}$라 하면 $\displaystyle h' \left( x \right) = \frac{2 e ^{- x}}{\left( 1 + e ^{- x} \right) ^{2}} > 0$ 이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {h \left( x \right)} = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {h \left( x \right)} = 2$이므로 함수 $h \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

함수 $h \left( x \right)$의 치역이 구간 $\left( 0 , 2 \right)$이므로 함수 $g \left( x \right) = \left| f \left( h \left( x \right) \right) \right|$의 치역은 구간 $\left( 0 , 2 \right)$에서 정의된 함수 $\left| f \left( x \right) \right|$의 치역과 같다. $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} f \left( h \left( x \right) \right) & & \left( f \left( h \left( x \right) \right) \geq 0 \right) \\ - f \left( h \left( x \right) \right) & & \left( f \left( h \left( x \right) \right) < 0 \right) \end{cases}}$ 조건 (가)에서 $g \left( 0 \right) > 0$이므로 $f \left( h \left( 0 \right) \right) = f \left( 1 \right) \ne 0$이고 $g \left( x \right)$가 $x = 0$에서 극소이므로 함수 $f \left( h \left( x \right) \right)$가 $x = 0$에서 극소이고 $f \left( h \left( 0 \right) \right) = f \left( 1 \right) > 0$이거나 함수 $f \left( h \left( x \right) \right)$가 $x = 0$에서 극대이고 $f \left( h \left( 0 \right) \right) = f \left( 1 \right) < 0$이다. (ⅰ) 함수 $f \left( h \left( x \right) \right)$가 $x = 0$에서 극소이고 $f \left( h \left( 0 \right) \right) = f \left( 1 \right) > 0$일 때 함수 $f \left( h \left( x \right) \right)$가 $x = 0$에서 극소이므로 $f' \left( h \left( 0 \right) \right) \times h' \left( 0 \right) = 0$, $f' \left( 1 \right) = 0$ $f'' \left( h \left( 0 \right) \right) \times \left\{ h' \left( 0 \right) \right\} ^{2} + f' \left( h \left( 0 \right) \right) h'' \left( 0 \right) > 0$, $f'' \left( 1 \right) > 0$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 1$에서 극소이다. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$가 $x = 1$에서 극소이면 $\displaystyle f \left( h \left( \ln 3 \right) \right) = f \left( \frac{3}{2} \right) > f \left( 1 \right) > 0$이고 $\displaystyle g' \left( \ln 3 \right) = f' \left( h \left( \ln 3 \right) \right) \times h' \left( \ln 3 \right) = f' \left( \frac{3}{2} \right) \times \frac{3}{8} > 0$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) 함수 $f \left( h \left( x \right) \right)$가 $x = 0$에서 극대이고 $f \left( h \left( 0 \right) \right) = f \left( 1 \right) < 0$일 때 함수 $f \left( h \left( x \right) \right)$가 $x = 0$에서 극대이므로 $f' \left( h \left( 0 \right) \right) \times h' \left( 0 \right) = 0$, $f' \left( 1 \right) = 0$ $f'' \left( h \left( 0 \right) \right) \times \left\{ h' \left( 0 \right) \right\} ^{2} + f' \left( h \left( 0 \right) \right) h'' \left( 0 \right) < 0$, $f'' \left( 1 \right) < 0$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 1$에서 극대이다. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$가 $x = 1$에서 극대이면 $\displaystyle f \left( h \left( - \ln 3 \right) \right) = f \left( \frac{1}{2} \right) < f \left( 1 \right) < 0$이고 $\displaystyle g' \left( - \ln 3 \right) = - f' \left( h \left( - \ln 3 \right) \right) \times h' \left( - \ln 3 \right) = - f' \left( \frac{1}{2} \right) \times \frac{3}{8} < 0$이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right) \times \frac{3}{8} = \frac{3}{8} \left| f \left( \frac{1}{2} \right) \right|$, $\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right) = - f \left( \frac{1}{2} \right)$ (ⅰ), (ⅱ)에서 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$가 $x = 1$에서 극댓값을 가지고 $\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right) = - f \left( \frac{1}{2} \right)$이다. 함수 $f \left( x \right)$의 극댓값이 음수이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 $x$절편을 $\alpha$라 하면 $f' \left( \alpha \right) > 0$이다. 또한, $f \left( x \right) > 0$이면 $x > \alpha$이고 $f' \left( x \right) > 0$이다.

만약 $\alpha < 2$이면 $h \left( \beta \right) = \alpha$를 만족시키는 실수 $\beta$가 존재한다. 이때 $f \left( h \left( \beta \right) \right) = f \left( \alpha \right) = 0$, $f' \left( h \left( \beta \right) \right) \times h' \left( \beta \right) = f' \left( \alpha \right) \times h' \left( \beta \right) > 0$이므로 함수 $g \left( x \right) = \left| f \left( h \left( x \right) \right) \right|$는 $x = \beta$에서 미분가능하지 않다. 따라서 $\alpha \geq 2$이고 $f \left( 2 \right) \leq 0$이다. $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{3} + a \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{2} + b \left( x - \frac{1}{2} \right) + c$라 하면 $\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right) = - f \left( \frac{1}{2} \right)$이므로 $c = - b$ $f' \left( 1 \right) = 0$이므로 $\displaystyle \frac{3}{4} + a + b = 0$, $\displaystyle a = - b - \frac{3}{4}$ $f \left( 2 \right) \leq 0$이므로 $\displaystyle \frac{27}{8} + \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c \leq 0$ $c = - b$, $\displaystyle a = - b - \frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle - \frac{7}{4} b + \frac{27}{16} \leq 0$, $\displaystyle b \geq \frac{27}{28}$ $g \left( 0 \right) = \left| f \left( h \left( 0 \right) \right) \right| = \left| f \left( 1 \right) \right| = - f \left( 1 \right)$이고 $\displaystyle - f \left( 1 \right) = - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{2} b - c = \frac{3}{4} b + \frac{1}{16} \geq \frac{11}{14}$이므로 구하는 $g \left( 0 \right)$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{11}{14}$ $p = 14$, $q = 11$이므로 $p + q = 25$ [참고] $\displaystyle b = \frac{27}{28}$이면 $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{3} - \frac{12}{7} \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{27}{28} \left( x - \frac{1}{2} \right) - \frac{27}{28}$ 이때 $\displaystyle f \left( h \left( \ln 3 \right) \right) = f \left( \frac{3}{2} \right) = - \frac{5}{7} < 0$이므로 $\displaystyle g' \left( \ln 3 \right) = - f' \left( h \left( \ln 3 \right) \right) \times h' \left( \ln 3 \right) = - \frac{15}{28} \times \frac{3}{8} < 0$