미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성함수 극한과 연속

문제

−2≤x≤2- 2 \leq x \leq 2에서 정의된 두 함수 y=f(x)y = f ( x )와 y=g(x)y = g ( x )의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

[보 기] ㄱ. lim⁡x→−1g(f(x))=−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} g ( f ( x ) ) = - 1 ㄴ. 함수 g(f(x))g ( f ( x ) )는 x=0x = 0에서 연속이 아니다. ㄷ. 방정식 g(f(x))=−12\displaystyle g ( f ( x ) ) = - \frac{1}{2}의 실근이 11과 22사이에 적어도 하나 존재한다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제 의도] 함수의 극한과 연속성 이해하기 g(f(x))={x+1(−2≤x≤−1)0(−1<x<0)−1(x=0)0(0<x<1)−x+1(1≤x≤2)\displaystyle g ( f ( x ) ) = \begin{cases} x + 1 & ( - 2 \leq x \leq - 1 ) \\ 0 & ( - 1 < x < 0 ) \\ - 1 & ( x = 0 ) \\ 0 & ( 0 < x < 1 ) \\ - x + 1 & ( 1 \leq x \leq 2 ) \end{cases}이므로 ㄱ. lim⁡x→−1g(f(x))=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} g ( f ( x ) ) = 0 (거짓) ㄴ. g(f(x))=g(1)=−1g ( f ( x ) ) = g ( 1 ) = - 1이고, lim⁡x→+0g(f(x))=lim⁡x→−0g(f(x))=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} g ( f ( x ) ) = \lim\limits _{x \rightarrow - 0} g ( f ( x ) ) = 0이므로 g(f(x))g ( f ( x ) )는 x=0x = 0에서 연속이 아니다. (참) ㄷ. 함수 g(f(x))g ( f ( x ) )는 11과 22 사이에서 연속이고 g(f(1))=0,g(f(2))=−1g ( f ( 1 ) ) = 0 , g ( f ( 2 ) ) = - 1이므로 중간값의 정리에 의해 방정식 g(f(x))=−12\displaystyle g ( f ( x ) ) = - \frac{1}{2}의 실근이 11과 22사이에 적어도 하나 존재한다. (참)

태그

#합성함수#연속#중간값 정리

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