합성함수 대칭

두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $f \left( g \left( x \right) \right)$$\displaystyle = f \left( \sin \frac{\pi}{b} x + 3 \right)$ $\displaystyle = \frac{3}{a} \left| \left( \sin \frac{\pi}{b} x + 3 \right) - 3 \right| - b$ $\displaystyle = \frac{3}{a} \left| \sin \frac{\pi}{b} x \right| - b$ 함수 $\displaystyle y = \frac{3}{a} \left| \sin \frac{\pi}{b} x \right|$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $- b$만큼 평행이동하면 함수 $y = f \left( g \left( x \right) \right)$의 그래프와 일치하므로 함수 $\displaystyle y = \frac{3}{a} \left| \sin \frac{\pi}{b} x \right|$의 그래프가 직선 $x = 3$에 대하여 대칭일 때 조건 (가)를 만족시킨다. 함수 $\displaystyle y = \frac{3}{a} \left| \sin \frac{\pi}{b} x \right|$의 주기는 $b$

함수 $\displaystyle y = \frac{3}{a} \left| \sin \frac{\pi}{b} x \right|$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \frac{k}{2} b$ ($k$는 정수) 에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{k}{2} b = 3$이다. 조건 (가)를 만족시키는 자연수 $b$는 $1$, $2$, $3$, $6$ 함수 $y = g \left( f \left( x \right) \right)$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 점의 $x$좌표를 $\alpha$라 할 때, $g \left( f \left( \alpha \right) \right) = 3$ $f \left( \alpha \right) = t$라 하면 $g \left( t \right) = 3$ $\displaystyle \sin \frac{\pi}{b} t + 3 = 3$, $\displaystyle \sin \frac{\pi}{b} t = 0$ $t = 0$, $\pm b$, $\pm 2 b$, $\cdots$ $0 \leq x \leq 6$일 때, 함수 $y = g \left( f \left( x \right) \right)$의 그래프가 직선 $y = 3$과 만나는 서로 다른 점의 개수는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = 0$, $y = \pm b$, $y = \pm 2 b$, $\cdots$와 만나는 서로 다른 점의 개수의 합과 같으므로 $0 \leq f \left( 0 \right) < b$, $\displaystyle 0 \leq \frac{9}{a} - b < b$

$\displaystyle b \leq \frac{9}{a} < 2 b$일 때, 조건 (나)를 만족시킨다. (ⅰ) $b = 1$인 경우 $\displaystyle 1 \leq \frac{9}{a} < 2$이므로 $a = 5$, $6$, $7$, $8$, $9$ (ⅱ) $b = 2$인 경우 $\displaystyle 2 \leq \frac{9}{a} < 4$이므로 $a = 3$, $4$ (ⅲ) $b = 3$인 경우 $\displaystyle 3 \leq \frac{9}{a} < 6$이므로 $a = 2$, $3$ (ⅳ) $b = 6$인 경우 $\displaystyle 6 \leq \frac{9}{a} < 12$이므로 $a = 1$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 조건을 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 5 , 1 \right)$, $\left( 6 , 1 \right)$, $\left( 7 , 1 \right)$, $\left( 8 , 1 \right)$, $\left( 9 , 1 \right)$, $\left( 3 , 2 \right)$, $\left( 4 , 2 \right)$, $\left( 2 , 3 \right)$, $\left( 3 , 3 \right)$, $\left( 1 , 6 \right)$ $2 a + b$의 최댓값 $M = 19$, 최솟값 $m = 7$ $M \times m = 133$