공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성함수 부등식

문제

함수 f(x)=x2−x−6f ( x ) = {x} ^{2} - x - 6, g(x)=x2−ax+4g ( x ) = {x} ^{2} - ax + 4일 때, 모든 실수 xx에 대하여 (f∘g)(x)≥0( f \circ g ) ( x ) \geq 0이 되는 실수 aa의 범위는? (단, f∘gf \circ g는 gg와 ff의 합성함수이다.) [3점] ①a≤−1,a≥1a \leq - 1 , a \geq 1②−1≤a≤1- 1 \leq a \leq 1③a≤−2,a≥2a \leq - 2 , a \geq 2④−2≤a≤2- 2 \leq a \leq 2⑤−4≤a≤4- 4 \leq a \leq 4

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④

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해설

f(x)=x2−x−6=(x−3)(x+2)f ( x ) = x ^{2} - x - 6 = ( x - 3 ) ( x + 2 ) g(x)=x2−ax+4g ( x ) = x ^{2} - ax + 4에서 (f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x)−3)(g(x)+2)≥0( f \circ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = ( g ( x ) - 3 ) ( g ( x ) + 2 ) \geq 0 ∴ ∴g(x)≥3또는g(x)≤−2\therefore g ( x ) \geq 3 \text{또는} g ( x ) \leq - 2 (i) g(x)≥3g ( x ) \geq 3에서 x2−ax+4≥3x ^{2} - ax + 4 \geq 3 즉 x2−ax+1≥0x ^{2} - ax + 1 \geq 0 이것이 모든 xx에 대하여 성립하므로 a2−4≤0a ^{2} - 4 \leq 0 ∴−2≤a≤2\therefore - 2 \leq a \leq 2 (ii) g(x)≤−2g ( x ) \leq - 2에서 x2−ax+4≤−2x ^{2} - ax + 4 \leq - 2 즉, x2−ax+6≤0x ^{2} - ax + 6 \leq 0 h(x)=x2−ax+6h ( x ) = x ^{2} - ax + 6은 아래로 볼록한 포물선이므로 모든 xx에 대하여 h(x)≤0h ( x ) \leq 0일 수 없다. (i), (ii)에서 구하는 aa의 값의 범위는 −2≤a≤2- 2 \leq a \leq 2

태그

#합성함수#이차부등식#판별식

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