합성방정식의 해의 개수와 이차함수 계수

함수 $f \left( x \right) = x ^{2} + ax + 1$에서 집합 $\left\{ x \left| f \left( f \left( x \right) \right) = f \left( x \right) \right. \right.$, $x$는 실수$\}$ 의 원소의 개수가 $2$이고, 이차방정식 $f \left( x \right) = x$의 서로 다른 실근의 개수는 $0$ 또는 $1$ 또는 $2$이므로 (ⅰ) 실근의 개수가 $0$인 경우 방정식 $f \left( x \right) = x$의 실근이 존재하지 않으므로 주어진 조건을 만족하지 않는다. (ⅱ) 서로 다른 실근의 개수가 $1$인 경우 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = x$가 서로 접하므로 다음 그림과 같다.

접점의 좌표를 $\left( \alpha , \alpha \right)$라 놓고, $f \left( x \right) = \alpha$를 만족시키는 다른 한 점의 $x$좌표를 $\beta$라 하면 $f \left( f \left( \alpha \right) \right) = f \left( \alpha \right) = \alpha$, $f \left( f \left( \beta \right) \right) = f \left( \alpha \right) = \alpha$ 이므로 주어진 집합의 원소의 개수는 $2$이다. 방정식 $x ^{2} + ax + 1 = x$, 즉 $x ^{2} + \left( a - 1 \right) x + 1 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = 0$이어야 하므로 $D = \left( a - 1 \right) ^{2} - 4 = \left( a - 3 \right) \left( a + 1 \right) = 0$ $\therefore$ $a = 3 \left( \because a > 0 \right)$ (ⅲ) 서로 다른 실근의 개수가 $2$인 경우 방정식 $f \left( x \right) = x$를 만족시키는 서로 다른 두 근을 $p$, $q$라 하면 $f \left( x \right) = p$, $f \left( x \right) = q$에서 두 이차방정식의 서로 다른 실근의 개수의 합이 $3$ 또는 $4$이므로 조건을 만족시키지 못한다. 이상에서 주어진 조건을 만족하는 양수 $a$의 값은 $3$이다.