합성 삼각함수의 극소 개수

[출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 극소가 되는 $x$의 개수를 구할 수 있는가? $g ( x )$$= 3 f ( x ) + 4 \cos f ( x )$이므로, $g' ( x )$$= 3 f' ( x ) - 4 f' ( x ) \sin f ( x )$ $= f' ( x ) \left\{ 3 - 4 \sin f ( x ) \right\}$ $= 12 \pi ( x - 1 ) \left\{ 3 - 4 \sin ( 6 \pi ( x - 1 ) ^{2} ) \right\}$ 이므로, $g' ( x ) = 0$에서 $x = 1$또는 $\displaystyle \sin ( 6 \pi ( x - 1 ) ^{2} ) = \frac{3}{4}$ (ⅰ) $x = 1$일 때, $x = 1$일 때, $\sin ( 6 \pi ( x - 1 ) ^{2} ) = 0$이므로, $x = 1$ 부근에서 $3 - 4 \sin ( 6 \pi ( x - 1 ) ^{2} ) > 0$이다. 이 때, $x - 1$은 $x = 1$의 좌우에서 음에서 양으로 변하므로, $g' ( x )$$= 12 \pi ( x - 1 ) \{ 3 - 4 \sin ( 6 \pi ( x - 1 ) ^{2} ) \}$도 $x = 1$의 좌우에서 음에서 양으로 변한다. 따라서 함수 $g ( x )$는 $x = 1$에서 극소이다. (ⅱ) $1 < x < 1$일 때, $12 \pi ( x - 1 ) > 0$이고, 함수 $f ( x )$는 구간 $[ 1 , 2 ]$에서 $0$에서 $6 \pi$까지 증가한다. 즉, $f ( x ) = t$라 하면 $x$의 값이 $1$에서 $2$까지 증가할 때, $t$의 갓은 $0$에서 $6 \pi$까지 증가한다. 이 때, 함수 $y = 3 - 4 \sin t$의 그래프는 다음과 같으므로, $t = \alpha , \beta , \gamma$의 좌우에서 $y = 3 - 4 \sin t$의 값은 음에서 양으로 변한다.

따라서 $f ( x ) = \alpha , \beta , \gamma$인 $x$의 좌우에서 $y = 3 - 4 \sin f ( x )$의 값은 음에서 양으로 변하고, 이러한 $x$는 세 수 $\alpha , \beta , \gamma$에 대하여 각각 하나씩 존재한다. 따라서 함수 $g ( x )$는 $1 < x < 2$에서 극소가 되는 $x$의 개수는 $3$이다. (ⅲ) $0 < x < 1$일 때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다. 즉, 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( 1 - x ) = f ( 1 + x )$가 성립한다. 이 때, $g ( 1 - x )$$= 3 f ( 1 - x ) + 4 \cos f ( 1 - x )$ $= 3 f ( 1 + x ) + 4 \cos f ( 1 + x )$ $= g ( 1 + x )$ 이므로, 함수 $y = g ( x )$의 그래프도 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이다. 따라서 (ⅱ)와 같이 $0 < x < 1$에서 함수 $g ( x )$는 극소가 되는 $x$의 개수도 $3$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 $x$의 개수는 $1 + 3 + 3 = 7$이다. [참고] $0 < x < 2$에서 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.