합성 조건을 만족시키는 일차함수 f 구하기

그래프에서 $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} 2 x & ( 0 \leq x \leq 2 ) \\ 8 - 2 x & ( 2 \leq x \leq 4 ) \end{cases}$ $( g \circ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = 4 - x$에서 $f ( x )$의 값이 놓이는 구간에 따라 나누어 생각한다. (i) $0 \leq f ( x ) \leq 2$인 경우 $g ( f ( x ) ) = 2 f ( x ) = 4 - x$에서 $\displaystyle f ( x ) = - \frac{1}{2} x + 2$ 이때 기울기가 $\displaystyle - \frac{1}{2} < 0$이므로 $a > 0$에 모순이다. (ii) $2 \leq f ( x ) \leq 4$인 경우 $g ( f ( x ) ) = 8 - 2 f ( x ) = 4 - x$에서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x + 2$ 이때 $0 \leq x \leq 4$에서 $2 \leq f ( x ) \leq 4$이므로 모든 $x$에서 조건이 성립한다. $f ( x )$는 일차함수이므로 그 그래프는 한 직선이고, (i)과 (ii)의 두 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + 2$, $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 2$ 중 $a > 0$인 것은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 2$뿐이다. 따라서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x + 2$이므로 $f ( 2 ) = 3$ ⑤