합성 지수함수 최대최소

[출제의도] 함수의 극대, 극소 및 함수의 그래프의 개형을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 함수를 구할 수 있는가? $g \left( x \right) = \left\{ f \left( x \right) + 2 \right\} e ^{f \left( x \right)}$이므로 $g' \left( x \right) = f' \left( x \right) \left\{ f \left( x \right) + 3 \right\} e ^{f \left( x \right)}$ $g' \left( x \right) = 0$에서 $f' \left( x \right) = 0$ 또는 $f \left( x \right) + 3 = 0$ $f \left( x \right)$가 이차함수이므로 조건 (가), (나)에서 의해 $f' \left( a \right) = 0$, $f \left( a \right) = 6$ $f \left( b \right) + 3 = 0$, $f \left( b + 6 \right) + 3 = 0$이어야 한다. 이차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 게수를 $p$라 하면 $f \left( b \right) + 3 = 0$, $f \left( b + 6 \right) + 3 = 0$이므로 $f \left( x \right) + 3 = p \left( x - b \right) \left( x - b - 6 \right)$ 즉, $f \left( x \right) = p \left( x - b \right) \left( x - b - 6 \right) - 3$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이 때, $f' \left( a \right) = 0$이므로 $\displaystyle \frac{b + \left( b + 6 \right)}{2} = a$ $b = a - 3$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $f \left( x \right) = p \left( x - a + 3 \right) \left( x - a - 3 \right) - 3$ 이므로 $f \left( a \right) = - 9 p - 3 = 6$에서 $p = - 1$ 방정식 $f \left( x \right) = 0$에서 $- \left( x - a + 3 \right) \left( x - a - 3 \right) - 3 = 0$ $\left( x - a \right) ^{2} - 6 = 0$, $\displaystyle x = \pm \sqrt{6}$ 따라서 $\left( \alpha - \beta \right) ^{2}$$\displaystyle = \left\{ \left( a + \sqrt{6} \right) - \left( a - \sqrt{6} \right) \right\} ^{2}$$= 24$