합성 이차함수 방정식

[출제의도] 연립이차방정식과 이차함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다. $f ( g ( x ) )$$= f ( x )$에서 $\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - 2 g ( x ) - 3$$= x ^{2} - 2 x - 3$ $\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2} - 2 \left\{ g ( x ) - x \right\}$$= 0$ $\left\{ g ( x ) - x \right\} \left\{ g ( x ) + x - 2 \right\}$$= 0$ 따라서 $g ( x )$$= x$ 또는 $g ( x )$$= \mathit{-} x + 2$이므로 $x ^{2} + 2 x + a$$= x$ $x ^{2} + x + a = 0$ …… ㉠ $x ^{2} + 2 x + a$$= \mathit{-} x + 2$ $x ^{2} + 3 x + a - 2 = 0$ …… ㉡ ㉠의 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $D _{1}$$= 1 - 4 a$ ㉡의 판별식을 $D _{2}$라 하면 $D _{2}$$= 9 - 4 ( a - 2 )$$= 17 - 4 a$ (ⅰ) 방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 갖고, 방정식 ㉡이 실근을 갖지 않는 경우 $D _{1} > 0$에서 $\displaystyle a < \frac{1}{4}$ $D _{2} < 0$에서 $\displaystyle a > \frac{17}{4}$ 따라서 조건을 만족시키는 실수 $a$의 값은 존재하지 않는다. (ⅱ) 두 방정식 ㉠, ㉡이 중근을 갖는 경우 $D _{1} = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{1}{4}$ $D _{2} = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{17}{4}$ 따라서 조건을 만족시키는 실수 $a$의 값은 존재하지 않는다. (ⅲ) 방정식 ㉠은 실근을 갖지 않고, 방정식 ㉡이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우 $D _{1} < 0$에서 $\displaystyle a > \frac{1}{4}$ $D _{2} > 0$에서 $\displaystyle a < \frac{17}{4}$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{4}$$< a$$\displaystyle < \frac{17}{4}$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 정수 $a$는 $1$, $2$, $3$, $4$이므로 개수는 $4$이다. [참고]

함수 $g ( x )$의 최고차항의 계수가 $1$이고 함수 $y = g ( x )$의 그래프가 직선 $x = \mathit{-} 1$에 대하여 대칭이다. 즉, 이차함수의 그래프에서 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되려면 함수 $y = g ( x )$의 그래프가 두 직선 $y = x$ 또는 $y = \mathit{-} x + 2$와 만나는 모든 서로 다른 점의 개수가 $2$이어야 하므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프가 직선 $y = x$와는 만나지 않고, 함수 $y = g ( x )$의 그래프가 직선 $y = \mathit{-} x + 2$와 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. 즉, 방정식 ㉠의 실근의 개수가 $0$, 방정식 ㉡의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이어야만 한다.