합성 도함수 식 적분

$a = f \left( 1 \right) , b = f \left( 3 \right)$이라 하자. $f' \left( x ^{2} + x + 1 \right) = \pi a \sin \pi x + b x + 5 x ^{2}$의 양변에 $2 x + 1$을 곱하면 $\left( 2 x + 1 \right) f' \left( x ^{2} + x + 1 \right) = a \pi \left( 2 x + 1 \right) \sin \pi x + bx + \left( 2 b + 5 \right) x ^{2} + 10 x ^{3}$ 위 식의 양변을 부정적분 하면 $f \left( x ^{2} + x + 1 \right)$$\displaystyle = - a \left( 2 x + 1 \right) \cos \pi x + \frac{2 a}{\pi} \sin \pi x + \frac{b}{2} x ^{2} + \frac{2 b + 5}{3} x ^{3} + \frac{5}{2} x ^{4} + C$ (단, $C$는 상수) $g \left( x \right) = x ^{2} + x + 1$이라 하자. $a = f \left( g \left( 0 \right) \right) = - a + C \cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle a = f \left( g \left( - 1 \right) \right) = - a + \frac{b}{2} - \frac{2 b + 5}{3} + \frac{5}{2} + C \cdots \cdots$㉡ $\displaystyle b = f \left( g \left( 1 \right) \right) = 3 a + \frac{b}{2} + \frac{2 b + 5}{3} + \frac{5}{2} + C \cdots \cdots$㉢ 이때, $\text{㉡} + \text{㉢} \rightarrow$$a + b = 2 a + b + 2 C + 5$ 이고 $\text{㉠} \rightarrow$$C = 2 a$ 이다. 따라서 $a = - 1 , b = 5 , C = - 2$이고 $\displaystyle f \left( x ^{2} + x + 1 \right) = \left( 2 x + 1 \right) \cos \pi x - \frac{2}{\pi} \sin \pi x + \frac{5}{2} x ^{2} + 5 x ^{3} + \frac{5}{2} x ^{4} - 2$ $f \left( x ^{2} + x + 1 \right)$에 $x = 2$를 대입하면 $f \left( 7 \right) = 93$