합성 방정식 실근

[출제의도] 방정식의 실근의 개수를 이용하여 조건을 만족시키는 삼차함수의 그래프를 찾고, 함숫값을 구할 수 있는가? 조건 (가)에서 방정식 $f ( x ) = 0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha ,$ $\beta$라 하면 $f ( x ) = k ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta )$ 로 놓을 수 있다. 조건 (나)에서 $x - f ( x ) = \alpha$ 또는 $x - f ( x ) = \beta$ 를 만족시키는 서로 다른 $x$의 값의 개수가 $3$이어야 한다. 즉 $f ( x ) = x - \alpha$ 또는 $f ( x ) = x - \beta$에서 곡선 $y = f ( x )$와 두 직선 $y = x - \alpha ,$ $y = x - \beta$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 $3$이어야 한다. 한편, 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $( 1 , 4 )$에서의 접선의 기울기가 $1$이므로 접선의 방정식은 $y = x + 3$ 그런데 $f ( 0 ) > 0 ,$ $f' ( 0 ) > 1$이므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x + 3$는 그림과 같다.

$f ( x ) - ( x + 3 ) = k ( x + 3 ) ( x - 1 ) ^{2}$이므로 $f ( x ) = k ( x + 3 ) ( x - 1 ) ^{2} + x + 3$ $f' ( x ) = k ( x - 1 ) ^{2} + k ( x + 3 ) \times 2 ( x - 1 ) + 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이때, $f' ( - 3 ) = 0$이므로 ㉠에 $x = - 3$을 대입하면 $0 = k \times 16 + 1$에서 $\displaystyle k = - \frac{1}{16}$ 따라서 $\displaystyle f ( x ) = - \frac{1}{16} ( x + 3 ) ( x - 1 ) ^{2} + x + 3$이므로 $\displaystyle f ( 0 ) = - \frac{1}{16} \times 3 \times 1 + 3 = \frac{45}{16}$ 즉 $p = 16 ,$ $q = 45$이므로 $p + q = 16 + 45 = 61$