합이 31 아닌 부분집합

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 수열의 규칙을 추론하여 수열의 합을 구한다. 조건 (가)에서 두 원소의 합이 31이 아니므로 집합 $A$에 속하지 않는 원소는 $31 - a _{i}$($1 \leq i \leq 15$)이다. 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{15} a _{i} ^{2}$과 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{15} \left( 31 - a _{i} \right) ^{2}$의 합은 집합 $U$의 모든 원소의 제곱의 합과 같다. $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{15} a _{i} ^{2} + \sum\limits _{i=1} ^{15} \left( 31 - a _{i} \right) ^{2}$$\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{30} i ^{2}$ $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{15} a _{i} ^{2} + \sum\limits _{i=1} ^{15} 31 ^{2} - 62 \sum\limits _{i=1} ^{15} a _{i} + \sum\limits _{i=1} ^{15} a _{i} ^{2}$$\displaystyle = \frac{30 \times 31 \times 61}{6}$ 조건 (나)에 의해 $\displaystyle 2 \sum\limits _{i = 1} ^{15} a _{i} ^{2} + 15 \times 31 ^{2} - 62 \times 264$$= {5 \times 31 \times 61}$ $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{15} a _{i} ^{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( {5 \times 31 \times 61} - 15 \times 31 ^{2} + 62 \times 264 \right)$ $\displaystyle = \frac{31}{2} \left( {5 \times 61} - 15 \times 31 + 2 \times 264 \right)$ $\displaystyle = \frac{31}{2} \left( - {5 \times 32} + 2 \times 264 \right)$ $= 31 \times 184$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{31} \sum\limits _{i = 1} ^{15} a _{i} ^{2}$$= 184$ [참고] 두 원소의 합이 $31$이 되는 쌍은 $( 1 , 30 )$, $( 2 , 29 )$, $\cdots$ , $( 15 , 16 )$이므로 집합 $A$는 각 순서쌍에서 원소를 하나씩 택하여 얻을 수 있다. 이와 같은 방법으로 찾은 집합 $A$의 여러 예 중 하나는 다음과 같다. $\left\{ 5 , 7 , 9 , 10 , 11 , 12 , 14 , 16 , 18 , 23 , 25 , 27 , 28 , 29 , 30 \right\}$