대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합과 일반항

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 ∑k=1nkak=n(n+1)(n+2)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k a _{k} = n \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) 를 만족시킬 때, ∑k=110ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k}의 값은? [4점] ①185185②195195③205205④215215⑤225225

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②

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 여러 가지 수열의 합 문제 해결하기 nan=∑k=1nkak−∑k=1n−1kak\displaystyle na _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ka _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ka _{k} (n≥2)\left( n \geq 2 \right) =n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)= n \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) - \left( n - 1 \right) n \left( n + 1 \right) =3n(n+1)= 3 n \left( n + 1 \right) ∴an=3(n+1)\therefore a _{n} = 3 \left( n + 1 \right)(n≥2)\left( n \geq 2 \right) ∑k=11kak=a1=1×2×3=6=3×(1+1)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{1} ka _{k} = a _{1} = 1 \times 2 \times 3 = 6 = 3 \times \left( 1 + 1 \right)이므로 모든 자연수 nn에 대하여 an=3(n+1)a _{n} = 3 \left( n + 1 \right)이다. ∴∑k=1103(k+1)=3(10×112+10)=3×65=195\displaystyle \therefore \sum\limits _{k = 1} ^{10} 3 \left( k + 1 \right) = 3 \left( \frac{10 {\times} 11}{2} + 10 \right) = 3 \times 65 = 195

태그

#수열의 합#일반항

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