합과 항의 관계식

[출제의도] 수열의 귀납적 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다. $S _{n + 1}$$= a _{n + 1} + S _{n}$이므로 $a _{n + 1} S _{n}$$= a _{n} \left( a _{n + 1} + S _{n} \right)$, $\left( S _{n} - a _{n} \right) a _{n + 1}$$= a _{n} S _{n}$ 즉, $S _{n - 1} a _{n + 1}$$= a _{n} S _{n}$$( n \geq 2 )$ $\cdots \cdots$ ㉠ $a _{1}$$= S _{1}$$= 2$, $a _{2} = 4$이므로 $S _{2}$$= a _{1} + a _{2}$$= 6$ ㉠에서 $a _{n + 1}$$\displaystyle = \frac{a _{n} S _{n}}{S _{n - 1}}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉡에 $n = 2$, $3$, $4$를 차례로 대입하면 $a _{3}$$\displaystyle = \frac{a _{2} S _{2}}{S _{1}}$$\displaystyle = \frac{4 \times 6}{2}$$= 12$에서 $S _{3}$$= S _{2} + a _{3}$$= 6 + 12$$= 18$ $a _{4}$$\displaystyle = \frac{a _{3} S _{3}}{S _{2}}$$\displaystyle = \frac{12 \times 18}{6}$$= 36$에서 $S _{4}$$= S _{3} + a _{4}$$= 18 + 36$$= 54$ $a _{5}$$\displaystyle = \frac{a _{4} S _{4}}{S _{3}}$$\displaystyle = \frac{36 \times 54}{18}$$= 108$ 따라서 $S _{5}$$= S _{4} + a _{5}$$= 162$