합과 차 조건 수열

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 활용하여 문제 해결하기 조건 (가)에 의하여 $a _{2 n - 1} + a _{2 n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{2 n} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{2 \left( n - 1 \right)} a _{k}$$= 17 n - 17 \left( n - 1 \right) = 17$ $\left( n \geq 2 \right)$ 조건 (나)에 의하여 $\left| a _{2 n} - a _{2 n - 1} \right| = 2 \left( 2 n - 1 \right) - 1 = 4 n - 3$ $\left( n \geq 1 \right)$ (ⅰ) $n = 2$인 경우 $\left| a _{4} - a _{3} \right| = 5$이고 $a _{3} + a _{4} = 17$ $\left( a _{3} , a _{4} \right) = \left( 6 , 11 \right)$ 또는 $\left( a _{3} , a _{4} \right) = \left( 11 , 6 \right)$ 조건 (나)에 의하여 $\left| a _{3} - a _{2} \right| = \left| a _{3} - 9 \right| = 3$이므로 $a _{3} = 6$, $a _{4} = 11$ (ⅱ) $n = 3$인 경우 $\left| a _{6} - a _{5} \right| = 9$이고 $a _{5} + a _{6} = 17$ $\left( a _{5} , a _{6} \right) = \left( 4 , 13 \right)$ 또는 $\left( a _{5} , a _{6} \right) = \left( 13 , 4 \right)$ 조건 (나)에 의하여 $\left| a _{5} - a _{4} \right| = \left| a _{5} - 11 \right| = 7$이므로 $a _{5} = 4$, $a _{6} = 13$ (ⅰ), (ⅱ)와 같은 방법을 반복하면 $a _{8} = 15$, $a _{10} = 17$, $\cdots$ , $a _{20} = 27$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{2 n}$의 값은 첫째항이 $9$이고 공차가 $2$인 등차수열의 첫째항부터 제$10$항까지의 합과 같다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{2 n}$$\displaystyle = \frac{10 \times \left( 18 + 9 \times 2 \right)}{2} = 180$