합으로 정의된 수열

$3$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = a _{n-1}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이므로 $n = 3$을 대입하면 $a _{1} + a _{2} + a _{3} = a _{2}$, $a _{1} + a _{3} = 0$ 이때 $a _{1} = \mathit{-} 3$이므로 $a _{3} = 3$ 또한 ㉠에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n + 1} a _{k} = a _{n}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡$-$㉠을 하면 $a _{n+1} = a _{n} - a _{n-1}$$( n \geq 3 )$ $a _{2} = k$로 놓고 $n$에 $3$, $4$, $5$, $\cdots$를 차례대로 대입하면 $a _{4} = a _{3} - a _{2} = 3 - k$ $a _{5} = a _{4} - a _{3} = 3 - k - 3 = \mathit{-} k$ $a _{6} = a _{5} - a _{4} = \mathit{-} k - ( 3 - k ) = \mathit{-} 3$ $a _{7} = a _{6} - a _{5} = \mathit{-} 3 + k$ $a _{8} = a _{7} - a _{6} = \mathit{-} 3 + k + 3 = k$ $a _{9} = a _{8} - a _{7} = k + 3 - k = 3$ $\vdots$ 따라서 $a _{n} = a _{n+6}$$( n \geq 2 )$ $a _{20} = 1$이므로 $1 = \mathit{-} 3 + \left\{ k + 3 + ( 3 - k ) - k - 3 + ( - 3 + k ) \right\} \times 3 + k$ $\therefore$$k = 1$ $\therefore$$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{50} a _{n}$$= a _{1} + \left( a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5} + a _{6} + a _{7} \right) \times 8 + a _{2}$ $= \mathit{-} 3 + k$ $= \mathit{-} 3 + 1 = - 2$