대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합으로 정의된 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 a1=3a _{1} = 3, an=3+∑k=1n−1ak\displaystyle a _{n} = 3 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k} (n=2,3,4,⋯ )( n = 2 , 3 , 4 , \cdots ) 가 성립할 때, a6a _{6}의 값을 구하시오. [3점]

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96

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해설

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하면 S1=a1=3S _{1} = a _{1} = 3이고 an=Sn−Sn−1a _{n} = S _{n} - S _{n-1} (n≥2n \geq 2) Sn−1=∑k=1n−1an\displaystyle S _{n-1} = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{n}이므로 Sn=2Sn−1+3S _{n} = 2 S _{n-1} + 3 Sn=S _{n} =6⋅2n−1−36 \cdot 2 ^{n-1} - 3 ∴\therefore a6=S6−S5=96a _{6} = S _{6} - S _{5} = 96

태그

#수열의 합#점화식

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