합으로 일반항 구하기

[출제의도] 이해능력-수열 $\displaystyle S _{n} = - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} + 1$이므로 (ⅰ) $n = 1$일 때, $\displaystyle a _{1} = S _{1} = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ $\cdots \text{㉠}$ (ⅱ) $n \geq 2$일 때, $\displaystyle a _{n} = S _{n} - S _{n - 1} = \left( - \frac{1}{2 ^{n}} + 1 \right) - \left( - \frac{1}{2 ^{n - 1}} + 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2 ^{n - 1}} \left( - \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{1}{2 ^{n}}$ $\cdots \text{㉡}$ $n = 1$일 때, ㉡이 성립하므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2}$이고, 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비수열이다. 따라서 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} = \frac{1}{2 ^{n}} ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 이므로 $\displaystyle \frac{a _{2 k}}{a _{k}} = \frac{\frac{1}{2 ^{2 k}}}{\frac{1}{2 ^{k}}} = \frac{1}{2 ^{k}}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{6} \frac{a _{2 k}}{a _{k}} = \sum\limits _{k = 1} ^{6} \frac{1}{2 ^{k}} = \frac{\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2 ^{6}} \right)}{1 - \frac{1}{2}}$$\displaystyle = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$