합에서 일반항

$S _{n} = n ^{2} - 15 n + 2 ^{n}$에서 (ⅰ) $n = 1$일 때 $a _{1} = S _{1} = 1 ^{2} - 15 \times 1 + 2 ^{1} = - 12$ (ⅱ) $n \geq 2$일 때 $a _{n}$$= S _{n} - S _{n - 1}$ $= \left( n ^{2} - 15 n + 2 ^{n} \right) - \left\{ \left( n - 1 \right) ^{2} - 15 \left( n - 1 \right) + 2 ^{n - 1} \right\}$ $= 2 n - 16 + 2 ^{n - 1}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 수열의 일반항은 $a _{1} = - 12$, $a _{n} = 2 n - 16 + 2 ^{n - 1}$ $\left( n \geq 2 \right)$ $a _{m} \geq 2 m$에서 (ⅰ) $m = 1$일 때 $a _{1} = - 12 < 2 \times 1$이므로 성립하지 않는다. (ⅱ) $m \geq 2$일 때 $2 m - 16 + 2 ^{m - 1} \geq 2 m$ $2 ^{m - 1} \geq 16$, $2 ^{m - 1} \geq 2 ^{4}$ $m - 1 \geq 4$, $m \geq 5$ (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 자연수 $m$의 최솟값은 $5$이다.