대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합 점화식 빈칸

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=1a _{1} = 1이고, an=n2+∑k=1n−1(2k+1)ak\displaystyle a _{n} = n ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( 2 k + 1 \right) a _{k} (n≥2)\left( n \geq 2 \right)를 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식으로부터 a2=7a _{2} = 7이다. 자연수 nn (n≥3)\left( n \geq 3 \right)에 대하여 an=n2+∑k=1n−1(2k+1)ak=n2+∑k=1n−2(2k+1)ak+(2n−1)an−1\displaystyle a _{n} = n ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( 2 k + 1 \right) a _{k} = n ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 2} \left( 2 k + 1 \right) a _{k} + \left( 2 n - 1 \right) a _{n - 1} =n2+an−1−□(가)+(2n−1)an−1= n ^{2} + a _{n - 1} - \square {( \text{가} )} + \left( 2 n - 1 \right) a _{n - 1}이므로, an+1=2n(an−1+1)a _{n} + 1 = 2 n \left( a _{n - 1} + 1 \right)이 성립한다. 따라서 an+1=n×(n−1)×⋯×3×□(나)×(a2+1)a _{n} + 1 = n \times \left( n - 1 \right) \times \cdots \times 3 \times \square {( \text{나} )} \times \left( a _{2} + 1 \right) =4×n!×□(나)= 4 \times n ! \times \square {( \text{나} )}이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 f(n)f \left( n \right), (나)에 알맞은 식을 g(n)g \left( n \right)이라 할 때, f(9)×g(9)f \left( 9 \right) \times g \left( 9 \right)의 값은?[4점] ①2132 ^{13}②2142 ^{14}③2152 ^{15}④2162 ^{16}⑤2172 ^{17}

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①

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해설

an=n2+∑k=1n−1(2k+1)ak\displaystyle a _{n} = n ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( 2 k + 1 ) a _{k} 에서 an−1=(n−1)2+∑k=1n−2(2k+1)ak\displaystyle a _{n - 1} = ( n - 1 ) ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 2} ( 2 k + 1 ) a _{k} 이므로 ∑k=1n−2(2k+1)ak=an−1−(n−1)2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n - 2} ( 2 k + 1 ) a _{k} = a _{n - 1} - ( n - 1 ) ^{2} 따라서 an=n2+∑k=1n−2(2k+1)ak+(2n−1)an−1\displaystyle a _{n} = n ^{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 2} ( 2 k + 1 ) a _{k} + ( 2 n - 1 ) a _{n - 1} =n2+an−1−(n−1)2+(2n−1)an−1= n ^{2} + a _{n - 1} - ( n - 1 ) ^{2} + ( 2 n - 1 ) a _{n - 1} ∴f(n)=(n−1)2\therefore f ( n ) = ( n - 1 ) ^{2} 또 an+1=2n(an−1+1)a _{n} + 1 = 2 n ( a _{n - 1} + 1 ) =2n∙2(n−1)(an−2+1)= 2 n \bullet 2 ( n - 1 ) ( a _{n - 2} + 1 ) ⋮\vdots =n(n−1)⋯2∙1∙2n−2(a2+1)= n ( n - 1 ) \cdots 2 \bullet 1 \bullet 2 ^{n-2} ( a _{2} + 1 ) 이므로 g(n)=2n−2g ( n ) = 2 ^{n-2} 이다. ∴f(9)×g(9)=26×27=213\therefore f ( 9 ) \times g ( 9 ) = 2 ^{6} \times 2 ^{7} = 2 ^{13}

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