항상 중근 조건

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 항등식의 성질 이해하기 이차방정식 $x ^{2} - 2 \left( m + a \right) x + m ^{2} + m + b = 0$이 중근을 가지므로 판별식 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left( m + a \right) ^{2} - m ^{2} - m - b = 0$이고 식을 $m$에 대하여 정리하면 $\left( 2 a - 1 \right) m + a ^{2} - b = 0$이다. 실수 $m$의 값에 관계없이 등식이 항상 성립하므로 $2 a - 1 = 0$, $a ^{2} - b = 0$이고 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$, $\displaystyle b = \frac{1}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle 12 \left( a + b \right) = 12 \times \frac{3}{4} = 9$이다.