항등식과 인수분해

[출제의도] 인수분해를 이용하여 문제 해결하기 $x ^{2} - x = X$라 두자. $\left( x ^{2} - x {) \left( x ^{2} - x + 3 {) + k {\left( x ^{2} - x {) + 8} \right.}} \right.} \right.$$= \left( x ^{2} - x + a {) \left( x ^{2} - x + b {)} \right.} \right.$에서 $X {\left( X + 3 {) + kX + 8 = {\left( X + a {) {\left( X + b {)} \right.}} \right.}} \right.}$ $X ^{2} + \left( k + 3 \right) X + 8 = X ^{2} + \left( a + b \right) X + ab$이다. 양변의 계수를 비교하면 $k + 3 = a + b$, $ab = 8$이다. $a$, $b$($a < b$)가 자연수이므로 $a = 1$, $b = 8$ 또는 $a = 2$, $b = 4$이다. $k = a + b - 3$이므로 $k = 6$ 또는 $k = 3$이다. 따라서 모든 상수 $k$의 값의 합은 $9$이다.