항등식 조건으로 다항함수의 계수 결정

함수 $f \left( x \right)$의 최고차항을 $ax ^{n}$ ($a \ne 0$, $n$은 자연수)라 하면 $2 f \left( x \right) - \left( x + 2 \right) f' \left( x \right)$의 최고차항은 $2 ax ^{n} - x \times nax ^{n - 1} = \left( 2 - n \right) ax ^{n}$ 이므로 $n = 2$ $f ( x ) = ax ^{2} + bx + c$ ($a , b , c$는 상수)라 하면 $f' ( x ) = 2 ax + b$이므로 $2 f \left( x \right) - \left( x + 2 \right) f' \left( x \right) - 8$$= \left( b - 4 a \right) x + 2 c - 2 b - 8$ 즉 모든 실수 $x$에 대하여 $\left( b - 4 a \right) x + 2 c - 2 b - 8 = 0$ 이 성립하므로 $b = 4 a$, $c = 4 a + 4$ $\therefore$ $f \left( x \right) = ax ^{2} + 4 a x + 4 a + 4$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{f \left( 0 \right) - f \left( - 3 \right)}{0 - \left( - 3 \right)} = 3$이므로 $\displaystyle \frac{\left( 4 a + 4 \right) - \left( a + 4 \right)}{3} = 3$, $a = 3$ 따라서 $f \left( x \right) = 3 x ^{2} + 12 x + 16$이므로 $f \left( 1 \right) = 31$