항등식 인수분해

[출제의도] 치환을 이용한 사차방정식의 인수분해 이해하기 $x ^{2} + 2 x = X$라 하면 주어진 식 $\left( x ^{2} + 2 x \right) \left( x ^{2} + 2 x - 3 \right) + 2$는 $X \left( X - 3 \right) + 2 = X ^{2} - 3 X + 2$$= \left( X - 1 \right) \left( X - 2 \right)$ 이므로 $\left( x ^{2} + 2 x \right) \left( x ^{2} + 2 x - 3 \right) + 2 = \left( x ^{2} + 2 x - 1 \right) \left( x ^{2} + 2 x - 2 \right)$이다. 따라서 $a = 2 , b = - 1$이므로 $a + b = 1$이다. [다른풀이] 등식 $\left( x ^{2} + 2 x \right) \left( x ^{2} + 2 x - 3 \right) + 2 = \left( x ^{2} + ax + b \right) \left( x ^{2} + 2 x - 2 \right)$ 는 $x$에 대한 항등식이므로 양변에 $x = 0$을 대입하면 $2 = - 2 b$이다. 그러므로 $b = - 1$이다. 양변에 $x = 1$을 대입하면 $2 = 1 + a + b$이고 $b = - 1$이므로 $a = 2$이다. 따라서 $a + b = 1$이다.