공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

항등식 계수와 나머지

문제

등식 $x ^{3} + x ^{2} - 8 x + 7 = ( x - 1 ) ^{3} + a ( x - 1 ) ^{2} + b ( x - 1 ) + c$ 가 $x$ 의 값에 관계없이 항상 성립하도록 하는 상수 $a , b , c$ 에 대하여 다항식 $ax ^{2} - bx - c$ 를 $x - 2$ 로 나눈 나머지는? [3점] ① $15$ ② $17$ ③ $19$ ④ $21$ ⑤ $23$

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④

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[출제의도] 항등식과 나머지 정리 이해하기 $x ^{3} + x ^{2} - 8 x + 7 = ( x - 1 ) ^{3} + a ( x - 1 ) ^{2} + b ( x - 1 ) + c$ 는 $x$ 에 대한 항등식이다. 주어진 식의 양변에 $x = 0 , 1 , 2$ 를 대입하면 $\displaystyle \begin{cases} 7 = - 1 + a - b + c \\ 1 = c \\ 3 = 1 + a + b + c \end{cases}$ $a = 4 , b = - 3 , c = 1$ $f ( x ) = ax ^{2} - bx - c = 4 x ^{2} + 3 x - 1$ $x - 2$ 로 나눈 나머지는 $f ( 2 ) = 21$

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