항등식 f(x+a)

[출제의도] 항등식에서 미정계수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $f ( x + a ) = ( x + a ) ^{3} + 9 ( x + a ) ^{2} + 4 ( x + a ) - 45$ $= ( x ^{3} + 3 ax ^{2} + 3 a ^{2} x + a ^{3} ) + 9 ( x ^{2} + 2 ax + a ^{2} ) + 4 ( x + a ) - 45$ $= x ^{3} + 3 ax ^{2} + 3 a ^{2} x + a ^{3} + 9 x ^{2} + 18 ax + 9 a ^{2} + 4 x + 4 a - 45$$= x ^{3} + ( 3 a + 9 ) x ^{2} + ( 3 a ^{2} + 18 a + 4 ) x + a ^{3} + 9 a ^{2} + 4 a - 45$ 주어진 조건에서 이차항의 계수가 $0$이므로 $3 a + 9 = 0$에서 $a = - 3$이다. $x ^{3} + ( 3 a + 9 ) x ^{2} + ( 3 a ^{2} + 18 a + 4 ) x + a ^{3} + 9 a ^{2} + 4 a - 45$에 $a = - 3$을 대입하여 정리하면 $x ^{3} + ( - 9 + 9 ) x ^{2} + ( 27 - 54 + 4 ) x - 27 + 81 - 12 - 45$$= x ^{3} - 23 x - 3$ 따라서 $b = - 23$이므로 $a + b = - 26$ [다른 풀이] $f ( x + a ) = x ^{3} + bx - 3$이고 $a = - 3$이므로 $f ( x - 3 ) = x ^{3} + bx - 3$ $x = 3$을 대입하면 $f ( 0 ) = 3 ^{3} + 3 b - 3$ $f \mathit{(} x ) = x ^{3} + 9 x ^{2} + 4 x - 45$에 $x = 0$을 대입하면 $f ( 0 ) = - 45$이다. 그러므로 $24 + 3 b = - 45$에서 $b = - 23$ 따라서 $a + b = - 26$이다.