함수의 그래프가 되게 하는 집합의 개수

실마리: $G$가 $X$에서 $X$로의 함수의 그래프가 되려면 $X$의 각 원소 $x$에 대하여 $x + y$가 $S$의 원소가 되는 $y$가 $X$에 꼭 하나씩 있어야 한다. $x$를 고정하면 $x + y$ $( y = 1 , 2 , \cdots , 6 )$는 $x + 1$ 이상 $x + 6$ 이하의 연속한 자연수 $6$개이다. 따라서 조건은 $x = 1 , 2 , \cdots , 6$의 각각에 대하여 $x + 1$ 이상 $x + 6$ 이하의 자연수 중 $S$의 원소가 꼭 하나씩 있는 것이다. (i) $7$이 $S$의 원소인 경우 $7$은 여섯 구간에 모두 들어 있으므로 $S$에 다른 원소가 있으면 그 원소가 든 구간에 $S$의 원소가 둘이 되어 모순이다. $S = \left\{ 7 \right\}$의 $1$개 (ii) $7$이 $S$의 원소가 아닌 경우 $x = 1$의 구간($2$ 이상 $7$ 이하)에서 $2$ 이상 $6$ 이하의 $S$의 원소가 꼭 하나 있다. 이를 $a$라 하자. $x = 6$의 구간($7$ 이상 $12$ 이하)에서 $8$ 이상 $12$ 이하의 $S$의 원소가 꼭 하나 있다. 이를 $b$라 하자. $U$의 원소는 $2$ 이상 $6$ 이하, $7$, $8$ 이상 $12$ 이하로 모두 나뉘므로 $S = \left\{ a , b \right\}$이다. $b - a \leq 5$이면 $x = b - 6$의 구간($b - 5$ 이상 $b$ 이하)에 $a$, $b$가 모두 들어가서 모순이다. $b - a \geq 7$이면 $x = a$의 구간($a + 1$ 이상 $a + 6$ 이하)에 $S$의 원소가 하나도 없어서 모순이다. 따라서 $b = a + 6$이고, 이때 연속한 자연수 $6$개는 차가 $6$인 두 수 $a$, $a + 6$ 중 꼭 하나만 포함하므로 조건을 만족시킨다. $S = \left\{ 2 , 8 \right\}$, $\left\{ 3 , 9 \right\}$, $\left\{ 4 , 10 \right\}$, $\left\{ 5 , 11 \right\}$, $\left\{ 6 , 12 \right\}$의 $5$개 (i), (ii)에서 구하는 집합 $S$의 개수는 $1 + 5 = 6$이다.