함숫값·적분 대소

조건(나)에서 $0 < x < y < 1$인 모든 $x , y$에 대하여 $0 < xf ( y ) < yf ( x )$ 이므로 $\displaystyle 0 < \frac{f ( y )}{y} < \frac{f ( x )}{x}$이고 $f ( 0 ) = 0$을 동시에 만족하는 다항함수 $f ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다. $y = f' ( 0 ) x$ $y = f ( x )$ $f ( 1 )$ $f ( y )$ $f ( x )$

주어진 그림에서 삼각형 $OAB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} f ( 1 )$이므로 $y = k$$\displaystyle \frac{1}{2} f ( 1 ) < \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$ ∴ $\displaystyle f ( 1 ) < 2 \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$ 즉, $B < C$ 한편, 원점 $O$을 지나는 접선의 방정식은 $y = f' ( 0 ) x$ 직선 $y = f' ( 0 ) x$와 직선 $x = 1$ 및 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} f' ( 0 )$이고 주어진 그림에서 $\displaystyle \frac{1}{2} f' ( 0 ) > \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$ ∴ $\displaystyle f' ( 0 ) > 2 \int _{0} ^{1} f ( x ) dx$ 즉, $A > C$ ∴ $B < C < A$