공통수학1나머지정리와 인수분해AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

함수식 조건으로 다항식 구하는 빈칸

문제

다음은 모든 실수 $x$ 에 대하여 $xP ( x - 1 ) = ( x - 3 ) P ( x )$ 를 만족시키고 $P ( 3 ) = 12$ 인 다항식 $P ( x )$ 를 구하는 과정이다.

$x = 0$ 을 대입하면 $0 = - 3 P ( 0 )$ 이므로 $P ( 0 ) = 0$ $x = 1$ 을 대입하면 $P ( 0 ) = - 2 P ( 1 )$ 이므로 $P ( 1 ) = 0$ $x = 3$ 을 대입하면 $3 P ( 2 ) = 0$ 이므로 $P ( 2 ) = 0$ 따라서 $P ( x ) =$ (가) $\times Q ( x )$ 로 놓을 수 있다. 이를 주어진 등식에 대입하면 $x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Q ( x - 1 ) = ( x - 3 ) x ( x - 1 ) ( x - 2 ) Q ( x )$ 이 등식은 $x$ 에 대한 항등식이므로 $Q ( x - 1 ) = Q ( x )$ 이고, 이를 만족시키는 다항식 $Q ( x )$ 는 상수이다. $Q ( x ) = k$ 라 하면 $P ( 3 ) = 12$ 에서 $k =$ (나) 따라서 $P ( x ) =$ (다)

위의 과정에서 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $g ( x )$ , $f ( x )$ , (나)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $g ( 3 ) + k + f ( 4 )$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$P ( 0 ) = P ( 1 ) = P ( 2 ) = 0$ 이므로 $P ( x )$ 는 $x$ , $x - 1$ , $x - 2$ 를 인수로 갖는다. 즉 $P ( x ) = x ( x - 1 ) ( x - 2 ) Q ( x )$ 이므로 (가) $= x ( x - 1 ) ( x - 2 )$ $P ( x - 1 ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Q ( x - 1 )$ 을 주어진 등식에 대입하면 $x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Q ( x - 1 ) = ( x - 3 ) x ( x - 1 ) ( x - 2 ) Q ( x )$ 양변을 비교하면 $Q ( x - 1 ) = Q ( x )$ 이므로 $Q ( x )$ 는 상수 $k$ 이다. $P ( 3 ) = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot k = 6 k = 12$ 이므로 $k = 2$ $P ( x ) = 2 x ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 이므로 (다) $= 2 x ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 검산: $x \cdot 2 ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) = ( x - 3 ) \cdot 2 x ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 로 항등식이 성립한다. $g ( 3 ) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ , $k = 2$ , $f ( 4 ) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48$ 따라서 $g ( 3 ) + k + f ( 4 ) = 6 + 2 + 48 = 56$

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