함수방정식과 정적분

[출제의도] 조건을 만족시키는 함수 $f ( x )$를 구하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? $\displaystyle 2 f ( x ) + \frac{1}{x ^{2}} f \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} \cdots \text{㉠}$ ㉠에서 $x$대신 $\displaystyle \frac{1}{x}$를 대입하면 $\displaystyle 2 f \left( \frac{1}{x} \right) + x ^{2} f ( x ) = x + x ^{2}$ 양변을 $2 x ^{2}$으로 나누면 $\displaystyle \frac{1}{x ^{2}} f \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{2} f ( x ) = \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2} \cdots \text{㉡}$ ㉠-㉡을 하면 $\displaystyle \frac{3}{2} f ( x ) = \frac{1}{2 x} + \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{2}$ $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3 x} + \frac{2}{3 x ^{2}} - \frac{1}{3}$ 따라서 $\displaystyle \int _{\frac{1}{2}} ^{2} {} f ( x ) dx = \int _{\frac{1}{2}} ^{2} {} \left( \frac{1}{3 x} + \frac{2}{3 x ^{2}} - \frac{1}{3} \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} \ln \left| x \right| - \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3} x \right] _{\frac{1}{2}} ^{2}$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{3} \ln 2 - 1 \right) - \left( \frac{1}{3} \ln \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{2 \ln 2}{3} + \frac{1}{2}$