미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

함수방정식과 적분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) f(0)=0f ( 0 ) = 0, f′(0)=1f' ( 0 ) = 1 (나) 모든 실수 xx, yy에 대하여 f(x+y)=f(x)+f(y)1+f(x)f(y)\displaystyle f ( x + y ) = \frac{f ( x ) + f ( y )}{1 + f ( x ) f ( y )} 이다.

f(−1)=kf ( - 1 ) = k(−1<k<0)( - 1 < k < 0 )일 때, ∫01{f(x)}2dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {} \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} dx의 값을 kk로 나타낸 것은? [4점] ①1−k21 - k ^{2}②1−2k1 - 2 k③1−k1 - k④1+k1 + k⑤1+k21 + k ^{2}

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④

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해설

f(x+y)=f(x)+f(y)1+f(x)f(y)\displaystyle f ( x + y ) = \frac{f ( x ) + f ( y )}{1 + f ( x ) f ( y )}에서 x=1,y=−1x = 1 , y = - 1을 대입하면 f(1)=−f(−1)=−kf ( 1 ) = - f ( - 1 ) = - k 이고 f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\displaystyle f' ( x ) = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}} =lim⁡h→0f(x)+f(h)1+f(x)f(h)−f(x)h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{\frac{f ( x ) + f ( h )}{1 + f ( x ) f ( h )} - f ( x )}{h}} =lim⁡h→0f(h)×(1−f(x)2)h×(1+f(x)f(h))\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( h ) \times ( 1 - f ( x ) ^{2} )}{h \times ( 1 + f ( x ) f ( h ) )}} =lim⁡h→0f(h)h×lim⁡h→0(1−f(x)2)(1+f(x)f(h))\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( h )}{h} \times \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{( 1 - f ( x ) ^{2} )}{( 1 + f ( x ) f ( h ) )}}} =f′(0)×(1−f(x)2)= f' ( 0 ) \times ( 1 - f ( x ) ^{2} ) =1−f(x)2= 1 - f ( x ) ^{2} ∴f(x)2=1−f′(x)\therefore f ( x ) ^{2} = 1 - f' ( x ) ∫01{f(x)}2dx\displaystyle \int _{0} ^{1} {} \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} dx =∫01{1−f′(x)}dx\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\left\{ 1 - f' ( x ) \right\}} dx =[x−f(x)]01=1−f(1)= \left[ x - f ( x ) \right] _{0} ^{1} = 1 - f ( 1 ) =1+k= 1 + k

태그

#함수방정식#도함수#정적분

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