미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

함수방정식으로 다항함수를 구해 극댓값과 도함수값의 차 구하기

문제

임의의 두 실수 x,yx , y에 대하여 f(x−y)=f(x)−f(y)+3xy(x−y)f ( x - y ) = f ( x ) - f ( y ) + 3 xy ( x - y ) 를 만족시키는 다항함수 f(x)f ( x )가 x=2x = 2에서 극댓값 aa를 가진다. f′(0)=bf' ( 0 ) = b일 때, a−ba - b의 값은? [5점] ①22②44③66④88⑤1010

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②

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해설

주어진 항등식의 우변에 3xy(x−y)3 xy ( x - y ) 으로부터 f(x)=−x3+kxf ( x ) = - x ^{3} + k x이다. 따라서 f′(x)=−3x2+kf' ( x ) = - 3 x ^{2} + k f′(2)=−12+k=0f' ( 2 ) = - 12 + k = 0, f(2)=−8+2k=af ( 2 ) = - 8 + 2 k = a, k=12k = 12, a=16a = 16 f′(0)=kf' ( 0 ) = k=b= b, b=12b = 12 ∴\therefore a−b=16−12=4a - b = 16 - 12 = 4

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#함수방정식#극값

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